Пучок (математика)

---

Пучок — структура, используемая для установления отношений между локальными и глобальными свойствами или характеристиками некоторого математического объекта. Пучки играют значительную роль в топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии, но также применяются в теории чисел, анализе и теории категорий.

Грубо говоря, пучок ${\displaystyle F}$ на топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ задаётся данными двух типов с двумя дополнительными свойствами.

Первая часть данных заключена в отображении, сопоставляющем каждому открытому подмножеству ${\displaystyle U}$ пространства ${\displaystyle X}$ некое (абстрактное) множество ${\displaystyle F(U)}$. (Часто предполагается, что на этом множестве задана определённая структура, но пока что ограничимся лишь тем, что это просто множество.)

Вторая часть данных состоит в том, что для каждой пары открытых множеств ${\displaystyle V\subset U}$ зафиксировано некоторое отображение${\displaystyle \rho _{VU}:F(U)\to F(V)}$, называемое сужением. (Оно действует аналогично операции сужения на область ${\displaystyle V}$ функций, заданных на ${\displaystyle U.}$)

Основной пример даёт пучок непрерывных функций на топологическом пространстве X. Ограничение непрерывной функции на открытое подмножество есть непрерывная функция на этом подмножестве, и функция, заданная частично на открытых подмножествах, может быть восстановлена на их объединении.

---