Гипотезы Вейля

---

Гипотезы Вейля — математические гипотезы о локальных дзета-функциях проективных многообразий над конечными полями.

Гипотезы Вейля утверждают, что локальные дзета-функции должны быть рациональны, удовлетворять функциональному уравнению, а их нули лежать на критических прямых. Последние 2 гипотезы аналогичны гипотезе Римана для дзета-функции Римана.

Гипотезы в общем виде были сформулированы Андре Вейлем в 1949 году, рациональность была доказана Бернардом Дворком^[en] в 1960 году, функциональное уравнение — Александром Гротендиком в 1965 году, аналог гипотезы Римана — Пьером Делинем в 1974 году^[1].

Пусть ${\displaystyle X}$ — неособое ${\displaystyle n}$-мерное проективное алгебраическое многообразие над конечным полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$. Его конгруэнц-дзета-функция определяется как

где ${\displaystyle N_{k}}$ — число точек ${\displaystyle X}$ над ${\displaystyle k}$-мерным расширением ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{k}}}$ поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$. Локальная дзета-функция ${\displaystyle \zeta (X,\;s)=Z(X,\;q^{-s})}$.

1. (Рациональность) ${\displaystyle Z(X,\;T)}$ является рациональной функцией ${\displaystyle T}$. Точнее, ${\displaystyle Z(X,\;T)}$ может быть представлено в виде конечного произведения

---