Поле частных

---

Поле частных (называемое также полем отношений) в общей алгебре определяется для области целостности ${\displaystyle R}$ как наименьшее поле^[1][2], содержащее ${\displaystyle R}$. Поле частных для ${\displaystyle R}$ может обозначаться ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ или ${\displaystyle \operatorname {Quot} (R)}$.

Элементы поля частных могут быть (однозначно) конструктивно построены из элементов ${\displaystyle R}$ как классы эквивалентности некоторого бинарного отношения (см. ниже).

Поле частных для области целостности ${\displaystyle R}$ строится так же, как поле рациональных чисел на основе кольца целых чисел^[4] (см. Рациональное число#Формальное определение). Рассмотрим множество упорядоченных пар элементов ${\displaystyle a,b\in R\ (b\neq 0)}$ и определим на нём отношение эквивалентности, как для дробей: пары ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle (c,d)}$ эквивалентны, если ${\displaystyle ad=bc}$. Поле частных ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}$ определяется как совокупность классов эквивалентности (факторкольцо). Класс, содержащий пару ${\displaystyle (a,b)}$, по аналогии с обычными дробями обозначают как ${\displaystyle a/b}$ или ${\displaystyle {a \over b}}$.

---