Обратная матрица

---

Обра́тная ма́трица — такая матрица ${\displaystyle A^{-1}}$, при умножении которой на исходную матрицу ${\displaystyle A}$ получается единичная матрица ${\displaystyle E}$:

Из этого определения следует критерий обратимости: матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Пусть квадратные матрицы ${\displaystyle A,~B}$ — невырожденные. Тогда:

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Возьмём две матрицы: саму ${\displaystyle A}$ и единичную матрицу ${\displaystyle E}$. Приведём матрицу ${\displaystyle A}$ к единичной методом Гаусса—Жордана, применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной ${\displaystyle A^{-1}}$.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц ${\displaystyle \Lambda _{i}}$ (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

---