Псевдообратная матрица

---

Псевдообра́тная ма́трица — обобщение понятия обратной матрицы в линейной алгебре. Псевдообратная матрица к матрице ${\displaystyle A}$ обозначается ${\displaystyle A^{+}}$.

Впервые концепцию псевдообратных интегрирующих операторов в 1903 году представил Фредгольм. Наиболее известно псевдообращение Мура — Пенроуза, которое было независимо описано Элиакимом Муром^[1] в 1920 году и Роджером Пенроузом^[2] в 1955 году; утверждение о существовании и единственности для любой матрицы над действительными и комплексными числами псевдообратной матрицы носит название теоремы Мура — Пенроуза.

Обобщённое обращение (англ. generalized inverse) — псевдообращение, удовлетворяющее более строгим условиям. Псевдообращение можно понимать как решение задачи наилучшей аппроксимации (по методу наименьших квадратов с предельным вариантом регуляризации) для соответствующей системы линейных уравнений^[⇨]. Псевдообратная матрица может быть вычислена с помощью сингулярного разложения матрицы.

${\displaystyle A^{+}}$ называется псевдообратной матрицей для матрицы ${\displaystyle A}$, если она удовлетворяет следующим критериям:

Здесь ${\displaystyle M^{*}}$ — эрмитово сопряжённая матрица M (для матриц над полем действительных чисел ${\displaystyle M^{*}=M^{T}}$).

Существует эквивалентный способ задания псевдообратной матрицы через предел обратных (регуляризация Тихонова):

---