Мультипликативная функция

---

Мультипликативная функция в теории чисел ― арифметическая функция ${\displaystyle f(m)}$, такая, что для любых взаимно простых чисел ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ выполнено:

При выполнении первого условия, требование ${\displaystyle f(1)=1}$ равносильно тому, что функция ${\displaystyle f(m)}$ не равна тождественно нулю.

Функции ${\displaystyle f(m)}$, для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$, называются вполне мультипликативными. Функция ${\displaystyle f}$ вполне мультипликативна тогда и только тогда, когда для любых натуральных ${\displaystyle x,y}$ выполняется соотношение ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$.

для всех простых ${\displaystyle p}$ и всех натуральных ${\displaystyle \alpha }$.

Из основной теоремы арифметики следует, что можно произвольно задать значения мультипликативной функции ${\displaystyle f(n)}$ на простых числах и их степенях, а также определить ${\displaystyle f(1)=1;}$ все прочие значения полученной функции определяются из свойства мультипликативности.

Если ${\displaystyle f(m)}$ — мультипликативная функция, то функция

---