Наследственное свойство

---

В математике наследственное свойство — свойство объекта, которое выполняется для всех его подобъектов. Конкретное значение термина «подобъект» зависит от контекста и конкретного вида объекта. Свойство может быть наследственным само по себе (то есть для любого объекта, для которого выполняется это свойство, оно будет выполняться и для любого подобъекта), либо быть наследственным для данного конкретного объекта (в таком случае говорят, что свойство наследственно выполняется для этого объекта).

Говорят, что свойство ${\displaystyle P}$ наследственно выполняется в топологическом пространстве, если оно выполняется для всех его подпространств. В таком случае обычно говорят, что пространство наследственно ${\displaystyle P}$. Например, конечное пространство является наследственно компактным, поскольку любое его подпространство — компактно. Свойство ${\displaystyle P}$ слабо наследственно или замкнуто наследственно в топологическом пространстве, если оно выполняется для всех его замкнутых подпространств. Пример: компактное хаусдорфово пространство является слабо наследственно компактным.

Свойство само по себе называется наследственным, если его выполнение для топологического пространства влечёт его выполнение в любом подпространстве (то есть если оно наследственно выполняется для всех топологических пространств). Пример наследственного свойства — хаусдорфовость. Аналогично определяется понятие слабо наследственного свойства, пример такого свойства — одновременная хаусдорфовость и компактность.

Пусть ${\displaystyle P}$ — некоторое свойство множества. Говорят, что множество наследственно ${\displaystyle P}$ (свойство ${\displaystyle P}$ наследственно выполняется для множества), если выполнены 2 условия:

Это означает, что свойство должно выполняться и для множества, и для его элементов, и для элементов элементов, и так далее. Примеры:

В отсутствии аксиомы регулярности определение данное выше может столкнуться с бесконечной рекурсией. Поэтому обычно наследственному выполнению свойства дают альтернативное определение, эквивалентное данному выше в случае присутствии аксиомы регулярности, и остающееся корректным в случае её отсутствия. Говорят, что множество наследственно ${\displaystyle P}$, если свойство ${\displaystyle P}$ выполнено для самого множества и для всех элементов его транзитивного замыкания.

---