Недвиговка впервые упоминается в 1793 году как слобода украинских переселенцев. С 1850 года она становится хутором, приписанным к юрту Гниловской станицы, куда начинают селиться казаки, «коих в 1859 году было 47 дворов». Район хутора оказывается в центре русско-турецких войн — об этом свидетельствуют остатки боевых редутов, построенных в конце XVII — начале XVIII веков, и оборонительный ров. Частично сохранились старинные усадебные ансамбли, сохранившие традиционные черты донской архитектуры: с крытыми камышом куренями, хозяйственными постройками, интерьером и оградой. В центре Недвиговки — храм Успения Богородицы (начало XX века), выстроенный в стиле модерн. С 1993 года Недвиговке присваивается почетный титул «Казачья гжельница».
На территории Недвиговки находится один из интереснейших в нашей стране археологических памятников античной цивилизации, самого северного древнегреческого поселения — Танаиса, которое в настоящее время является составной часть археологического музея-заповедника «Танаис».
Название хутора местные предания связывают с далекой эпохой XVII века, с именем Петра I. Здесь был поставлен казачий заслон, прикрывавший от турок южные рубежи важной в стратегическом отношении дельты. Приказ заслону был краток: «не двигаться!» Отсюда и название хутора. Другая версия связывает его с первопоселенцем этих мест, запорожским казаком Недвигой.
В западной части хутора находится большое, свободное от построек пространство, которое окружено с трех сторон глубоким рвом. На разных участках этой территории видны открытые археологами остатки оборонительных стен, башен, улиц, подвалов. Всё это является руинами древнего города Танаис.
Здесь родился Ченцов, Иван Дмитриевич (1885—1937) — советский политический и государственный деятель.
В хуторе жил и работал Чернышев, Арсений Макеевич (1923-1988) — советский художник. Член союза художников СССР с 1949 года.