Неподвижная точка

---

Неподвижная точка в математике — точка, которую заданное отображение переводит в неё же, иными словами, решение уравнения ${\displaystyle f(x)=x}$. Иногда такую точку называют инвариантной [по названию соответствующего у неё свойства].

К примеру, отображение ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+3}$ имеет неподвижные точки ${\displaystyle x=1}$ и ${\displaystyle x=3}$, поскольку ${\displaystyle f(1)=1}$ и ${\displaystyle f(3)=3}$.

Неподвижные точки есть не у всякого отображения — скажем, отображение ${\displaystyle f(x)=x+1}$ вещественной прямой в себя неподвижных точек не имеет.

называются периодическими (в частности, неподвижные точки — это периодические точки периода ${\displaystyle 1}$).

Неподвижная точка ${\displaystyle x=f(x)}$ отображения ${\displaystyle f}$ — притягивающая, если результат последовательного применения ${\displaystyle f}$ к любой точке ${\displaystyle y}$, достаточно близкой к ${\displaystyle x}$, будет стремиться к ${\displaystyle x}$:

При этом обычно требуют, чтобы результат каждой итерации не покидал некоторой большей окрестности точки ${\displaystyle x}$ — то есть, чтобы точка ${\displaystyle x}$ была асимптотически устойчива.

---