Неравенство Йенсена

---

Пусть функция ${\displaystyle f}$ является выпуклой на некотором интервале ${\displaystyle I}$ и числа ${\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}}$ (веса) таковы, что

Тогда каковы бы ни были числа ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ из ${\displaystyle I}$, выполняется неравенство, известное под названием неравенства Йенсена:

С этой целью, заменим слева сумму двух последних слагаемых ${\displaystyle \ q_{n}f(x_{n})+q_{n+1}f(x_{n+1})}$ одним слагаемым

это даст возможность воспользоваться неравенством для ${\displaystyle \ n}$ и установить, что выражение выше не превосходит суммы

Остаётся лишь применить к значению функции в последнем слагаемом неравенство для ${\displaystyle \ n=2}$. Таким образом по методу математической индукции неравенство Йенсена полностью доказано.

---