Выпуклая функция

---

Выпуклый надграфик означает, что отрезок между любыми двумя точками графика функции в векторном пространстве лежит не ниже соответствующей дуги графика; иногда такую функцию называют выпуклой вниз. Выпуклой вверх или вогнутой называют функцию с выпуклым подграфиком; некоторыми авторами вогнутыми называются выпуклые вниз функции^[1].

Понятие имеет важное значение для классического математического анализа и функционального анализа, где особо изучаются выпуклые функционалы, а также для таких приложений, как теория оптимизации, где выделяется специализированный подраздел — выпуклый анализ.

Формально, для числовой функции на некотором интервале (в общем случае — на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства) выпуклость (вниз) можно определить как выполнение неравенства Йенсена — если для любых двух значений аргумента ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и для любого числа ${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$ имеет место:

Если неравенство Йенсена выполняется в строгом варианте для всех ${\displaystyle t\in \left(0,1\right)}$ и ${\displaystyle x\neq y}$, то функция называется строго выпуклой. Если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой (соответственно, строго вогнутой для строгого случая).

Если для некоторого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ выполняется более сильное неравенство:

Функция ${\displaystyle f}$, выпуклая на интервале ${\displaystyle \mathbb {I} }$, непрерывна на всём ${\displaystyle \mathbb {I} }$, дифференцируема на всём ${\displaystyle \mathbb {I} }$ за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти всюду.

---