Выпуклый анализ

---

Выпуклый анализ — это ветвь математики, посвящённая изучению свойств выпуклых функций и выпуклых множеств, часто имеющая приложения в выпуклом программировании, подобласти теории оптимизации.

Выпуклое множество является множеством ${\displaystyle C\subseteq X}$ для некоторого векторного пространства X, такое что для любых ${\displaystyle x,y\in C}$ и ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$^[1]

Выпуклая функция — любая расширенная вещественнозначная функция ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$, которая удовлетворяет неравенству Йенсена, то есть, для любых ${\displaystyle x,y\in X}$ и любой ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$

Эквивалентно, выпуклой функцией является любая (расширенная) вещественнозначная функция, такая что её надграфик

Выпуклое сопряжение расширенной вещественнозначной (не обязательно выпуклой) функции ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ — это функция ${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$, где X* является двойственным пространством пространства X^[2], такая что

Двойное сопряжение функции ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ — это сопряжение сопряжения, что обычно записывается как ${\displaystyle f^{**}:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$. Двойное сопряжение полезно, когда нужно показать, что выполняется сильная или слабая двойственность (с помощью функции возмущений^[англ.]).

---