Выпуклое множество

---

Выпуклое множество в аффинном или векторном пространстве — множество, в котором все точки отрезка, образуемого любыми двумя точками данного множества, также принадлежат данному множеству.

Граница выпуклого множества всегда является выпуклой кривой. Пересечение всех выпуклых множеств, содержащих данное подмножество A евклидова пространства, называется выпуклой оболочкой A. Это наименьшее выпуклое множество, содержащее A.

Выпуклая функция — это вещественнозначная функция, определённая на интервале со свойством, что ее надграфик (множество точек на графике функции или над ним) является выпуклым множеством. Выпуклое программирование — это подраздел оптимизации, изучающая проблему минимизации выпуклых функций над выпуклыми множествами. Раздел математики, посвященный изучению свойств выпуклых множеств и выпуклых функций, называется выпуклым анализом.

Пусть ${\displaystyle A}$ — аффинное или векторное пространство над полем вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Множество ${\displaystyle K\subset A}$ называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками ${\displaystyle x,\;y\in K}$ множеству ${\displaystyle K}$ принадлежат все точки отрезка ${\displaystyle xy}$, соединяющего в пространстве ${\displaystyle A}$ точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Этот отрезок можно представить как

Множество ${\displaystyle K}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$ называется абсолютно выпуклым, если оно выпукло и уравновешенно.

---