Выпуклая кривая

---

Выпуклая кривая — кривая на евклидовой плоскости, которая лежит по одну сторону от любой касательной прямой.

Любая прямая ${\displaystyle L}$ делит евклидову плоскость на две полуплоскости, в объединении дающие всю плоскость, а пересечение которых совпадает с ${\displaystyle L}$, кривая ${\displaystyle C}$ «лежит по одну сторону от ${\displaystyle L}$», если она полностью содержится в одной из этих полуплоскостей. Плоская кривая называется выпуклой, если она лежит по одну сторону от любой её касательной прямой^[1]. Другими словами, выпуклая кривая является кривой, которая имеет опорную прямую в каждой точке кривой.

Выпуклую кривую можно определить как границу выпуклого множества евклидовой плоскости. Это означает, что выпуклая кривая всегда замкнута (то есть не имеет конечных точек)^[2].

Иногда используется более слабое определение, в котором выпуклая кривая является подмножеством границы выпуклого множества. В этом варианте выпуклая кривая может иметь конечные точки.

Строго выпуклая кривая — выпуклая кривая, не содержащая отрезков. Эквивалентно, строго выпуклая кривая — это кривая, которая пересекает любую прямую максимум в двух точках^[3][4], или простая замкнутая кривая в выпуклой позиции^[en], что означает, что никакая точка кривой не может быть представлена в виде выпуклой комбинации любого другого подмножества её точек.

Любая выпуклая кривая имеет хорошо определённую конечную длину. Таким образом, выпуклая кривая является подмножеством спрямляемых кривых^[2].

---