Выпуклая комбинация

---

Выпуклая комбинация — одно из ключевых понятий выпуклой геометрии; линейная комбинация точек (которые могут быть векторами, скалярами или точками аффинного пространства), где все коэффициенты неотрицательны, и их сумма равна 1^[1][2].

Более формально, если задано конечное число точек ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ в векторном пространстве над некоторым полем, содержащем поле вещественных чисел^[1], выпуклая комбинация этих точек имеет вид

где вещественные числа ${\displaystyle \alpha _{i}}$ удовлетворяют условиям ${\displaystyle \alpha _{i}\geqslant 0}$ и ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1}$.

Существуют подмножества векторного пространства, замкнутые относительно выпуклой комбинации, но не замкнутые относительно линейной. Например, интервал ${\displaystyle [0,1]}$ является выпуклым, но линейные комбинации точек этого интервала дают всю прямую. Другой пример — выпуклое множество распределений вероятностей.

Если задан набор вещественных чисел ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, то для любой их выпуклой комбинации с коэффициентами ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\geqslant 0,a_{1}+\dots +a_{n}=1}$ имеют место оценки:

---