Выпуклая оболочка

---

Выпуклой оболочкой множества ${\displaystyle X}$ называется наименьшее выпуклое множество, содержащее ${\displaystyle X}$. «Наименьшее множество» здесь означает наименьший элемент по отношению к вложению множеств, то есть такое выпуклое множество, содержащее данную фигуру, что оно содержится в любом другом выпуклом множестве, содержащем данную фигуру.

Обычно выпуклая оболочка определяется для подмножеств векторного пространства над вещественными числами (в частности в евклидовом пространстве) и на соответствующих аффинных пространствах.

Выпуклая оболочка множества ${\displaystyle X}$ обычно обозначается ${\displaystyle \operatorname {Conv} X}$.

Представьте себе доску, в которую вбито — но не по самую шляпку — много гвоздей. Возьмите верёвку, свяжите на ней скользящую петлю (лассо) и набросьте её на доску, а потом затяните. Верёвка окружает все гвозди, но касается она только некоторых, самых внешних. В таком положении петля и окружённая ей область доски являются выпуклой оболочкой для всей группы гвоздей^[1].

Выпуклой оболочкой функции f называют такую функцию ${\displaystyle \operatorname {Conv} f}$, что

Стоит отметить связь понятия выпуклой оболочки функции с преобразованием Лежандра невыпуклых функций. Пусть f * — преобразование Лежандра функции f. Тогда если ${\displaystyle \operatorname {Conv} f}$ —собственная функция (принимает конечные значения на непустом множестве), то

---