Преобразование Лежандра

---

Преобразование Лежандра для заданной функции ${\displaystyle f(x)}$ — это построение функции ${\displaystyle f^{*}(p)}$, двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве ${\displaystyle V}$, её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве ${\displaystyle V^{*}}$, то есть на пространстве линейных функционалов на пространстве ${\displaystyle V}$.

Возможная мотивация может быть выражена в виде менее общего определения. Преобразование Лежандра — это такая замена функции и переменной, при которой старая производная принимается за новую переменную, а старая переменная — за новую производную.

в силу того, что ${\displaystyle d(xf')=f'\,dx+x\,df'}$, может быть записано в виде

что и является преобразованием Лежандра ${\displaystyle (f,x)\to (F,y)}$, тогда

При этом новая переменная ${\displaystyle y}$ равна старой производной, а старая переменная ${\displaystyle x}$ равна новой производной:

Определения могут отличаться знаком ${\displaystyle F}$. Если исходных переменных ${\displaystyle x}$ больше, чем одна, преобразование Лежандра может быть осуществлено по любому подмножеству из них.

---