Преобразование Лежандра для заданной функции — это построение функции , двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве , её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве , то есть на пространстве линейных функционалов на пространстве .
Возможная мотивация может быть выражена в виде менее общего определения. Преобразование Лежандра — это такая замена функции и переменной, при которой старая производная принимается за новую переменную, а старая переменная — за новую производную.
в силу того, что , может быть записано в виде
что и является преобразованием Лежандра , тогда
При этом новая переменная равна старой производной, а старая переменная равна новой производной:
Определения могут отличаться знаком . Если исходных переменных больше, чем одна, преобразование Лежандра может быть осуществлено по любому подмножеству из них.