Нормальный оператор

---

Нормальный оператор — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, перестановочный со своим сопряжённым: ${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}}$. Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы: ${\displaystyle A=A^{*}}$ и унитарные операторы: ${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$. Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема.

Аддитивное разложение аналогично выражению комплексного числа ${\displaystyle z}$ через его действительную и мнимую части: ${\displaystyle z=x+iy}$, а мультипликативное разложение — представлению в показательной форме: ${\displaystyle z=re^{i\varphi }.}$^[1]

Любому нормальному оператору ${\displaystyle N}$ соответствует семейство проекционных операторов ${\displaystyle \{E(\delta )\}}$, являющихся аддитивной и мультипликативной функцией прямоугольника, таким образом, что

где ${\displaystyle q(z,{\bar {z}})}$ — произвольный многочлен от ${\displaystyle z=x+iy}$ и ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$; при любом фиксированном прямоугольнике ${\displaystyle \delta }$ оператор ${\displaystyle E(\delta )}$ является пределом некоторой последовательности многочленов от операторов ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N^{*}}$^[8].

На основе спектрального разложения нормальных операторов строится функциональное исчисление для функций

---