Унитарный оператор

---

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор ${\displaystyle U\colon H\to H}$ на гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$, который удовлетворяет соотношению:

где ${\displaystyle U^{*}}$ — эрмитово сопряжённый к ${\displaystyle U}$ оператор, и ${\displaystyle I\colon H\to H}$ — единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

(${\displaystyle U}$ изометричен, а поэтому является ограниченным линейным оператором — это следует из того, что ${\displaystyle U}$ сохраняет скалярное произведение; образ ${\displaystyle U}$ — плотное множество, таким образом ${\displaystyle U^{-1}}$ = ${\displaystyle U^{*}}$.)

Унитарный элемент — обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре элемент ${\displaystyle U}$ алгебры называется унитарным элементом, если:

Спектр унитарного оператора ${\displaystyle U}$ лежит на единичной окружности. Это можно увидеть из спектральной теоремы для нормального оператора. По этой теореме, ${\displaystyle U}$ унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю функцию ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle L^{2}(\mu )}$, для некоторого пространства с мерой ${\displaystyle (X,\mu )}$. Из ${\displaystyle UU^{*}=I}$ следует ${\displaystyle |f(x)|^{2}=1}$.

---