Измеримая функция

---

Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ и ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$ — два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется ${\displaystyle {\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}}$-измеримой, или просто измеримой, если прообраз любого множества из ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, то есть

Пусть дана функция ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$. Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

В 1901 году французский математик А. Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. В диссертации Лебега (1902) теория меры была обобщена до так называемой меры Лебега. Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.

---