Алгебра множеств

---

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств некоторого множества ${\displaystyle X}$, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).

Семейство ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subset 2^{X}}$ подмножеств множества ${\displaystyle X}$ (здесь ${\displaystyle 2^{X}}$ — булеан) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий ${\displaystyle \Omega }$, элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств, алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых с конечным количеством множеств. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно теоретико-множественных операций, производимых со счётным количеством множеств, называется сигма-алгеброй событий.

Событие ${\displaystyle A+B}$ или ${\displaystyle A\cup B}$, заключающееся в том, что из двух событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ происходит по крайней мере одно, называется суммой событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$.

Вероятностное пространство — это алгебра событий с заданной функцией вероятности ${\displaystyle \mathbb {P} }$, то есть сигма-аддитивной конечной мерой, областью определения которой является алгебра событий, где ${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1}$.

---