Мера множества

---

Ме́ра мно́жества — числовая характеристика множества, интуитивно её можно понимать как массу множества при некотором распределении массы по пространству. Понятие меры множества возникло в теории функций вещественной переменной при развитии понятия интеграла^[1].

Собственно, мера — это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому множеству (из некоторого семейства множеств) некоторое неотрицательное число. Кроме неотрицательности мера как функция должна также обладать свойством аддитивности — мера объединения непересекающихся множеств должна равняться сумме их мер. Необходимо отметить, что не всякое множество измеримо — для каждой функции меры обычно подразумевается некоторое семейство множеств (называемых измеримыми по данной мере), для которых мера существует.

Частным случаем меры является мера Лебега для подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, обобщающая понятие объёма ${\displaystyle (n=3)}$, площади ${\displaystyle (n=2)}$ или длины ${\displaystyle (n=1)}$ на случай множеств, более общих, чем просто ограниченные гладкой поверхностью.

Пусть задано множество ${\displaystyle X}$ с некоторым выделенным классом подмножеств ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, предполагается, что данный класс подмножеств является иногда кольцом множеств или алгеброй множеств, в наиболее общем случае — полукольцом множеств.

Функция ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {F}}\to [0,\;\infty ]}$ называется мерой (иногда объёмом), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Первая аксиома является удобной, но в некотором смысле избыточной: достаточно предположить что существует хотя бы одно множество с конечной мерой, из чего будет следовать, что мера пустого множества будет равна нулю (в противном случае добавление к любому множеству конечной меры пустого множества изменило бы меру, несмотря на то, что множество не изменилось).

---