Теория функций вещественной переменной (ТФВП, или теория функций действительного переменного, ТФДП) — раздел математического анализа, изучающий вопросы представления и приближения функций, их локальные и глобальные свойства. При этом, в отличие от классического дифференциального и интегрального исчисления, ТФВП опирается на теорию множеств и теорию меры, широко использует их понятия и методы, что позволило значительно обобщить классические результаты, дать им строгое обоснование и получить новые результаты[1].
Классический анализ XVII—XIX веков в основном ограничивался исследованием гладких или кусочно-гладких функций. Во второй половине XIX века выяснилось, что практический интерес представляют и более общие классы функций; выяснилось также, что казавшиеся интуитивно очевидными такие понятия, как непрерывность, длина кривой или площадь поверхности, требуют более строгого определения[2]. Проблема была решена с появлением меры Лебега и теоретико-множественного подхода к понятию функции как бинарному отношению[1]. Новый фундамент анализа позволил сохранить все накопленные ранее знания (хотя часть формулировок пришлось уточнить) и доказать ряд новых глубоких теорем, таких как лемма Гейне — Бореля, теорема Асколи — Арцела, теорема Вейерштрасса — Стоуна, лемма Фату, теорема Лебега о мажорируемой сходимости и многие другие.
ТФВП тесно связана с такими разделами математики, как геометрия, линейная алгебра, функциональный анализ, топология и др.[3]