Мера Лебега

---

Ме́ра Лебе́га на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ — мера, обобщающая понятия длины отрезка, площади фигуры и объёма тела на произвольное ${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство. Говоря более формально, мера Лебега является продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств^[1].

В частности, мера Лебега отрезка на вещественной прямой равна его длине, мера Лебега многоугольника на плоскости равна его площади.

Для произвольного подмножества ${\displaystyle E}$ числовой прямой можно найти сколь угодно много различных систем из конечного или счётного числа интервалов, объединение которых содержит множество ${\displaystyle E}$. Назовём такие системы покрытиями. Так как сумма длин интервалов, составляющих любое покрытие, есть величина неотрицательная, она ограничена снизу, и, значит, множество длин всех покрытий имеет точную нижнюю грань. Эта грань, зависящая только от множества ${\displaystyle E}$, и называется внешней мерой:

Внешняя мера любого интервала совпадает с его длиной, что является следствием счётной аддитивности меры Лебега на полукольце интервалов, отрезков и полуинтервалов. Если точнее, то указанная счётная аддитивность даёт ${\displaystyle m(a,b)\leqslant m^{*}(a,b)}$, тогда как противоположное неравенство действительно очевидно и напрямую вытекает из определения внешней меры. Более того, можно привести такой пример меры на алгебре, что внешняя мера некоторого множества из этой алгебры строго меньше его исходной меры.

Если множество ${\displaystyle E}$ ограничено, то внутренней мерой множества ${\displaystyle E}$ называется разность между длиной сегмента ${\displaystyle [a,\;b]}$ содержащего ${\displaystyle E}$ и внешней мерой дополнения ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle [a,\;b]}$:

---