Площадь фигуры

---

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:

При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура ${\displaystyle F}$ называется квадрируемой, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует пара многоугольников ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$, такие что ${\displaystyle P\subset F\subset Q}$ и ${\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }$, где ${\displaystyle S(P)}$ обозначает площадь ${\displaystyle P}$.

---