Единичный квадрат

---

Единичный квадрат — квадрат, стороной которого является единичный отрезок. Единичный квадрат является единицей измерения площади. Иногда требуют, чтобы в прямоугольных координатах левый нижний угол единичного квадрата находился бы в начале координат и его стороны были бы параллельны осям координат. В этом случае его вершины имеют координаты ${\displaystyle (0,0)}$, ${\displaystyle (1,0)}$, ${\displaystyle (1,1)}$ и ${\displaystyle (0,1)}$.

Если задана прямоугольная система координат, то этот термин часто используют в более узком смысле: единичный квадрат — это множество точек, обе координаты которых (x и y) лежат между 0 и 1:

Иными словами, единичный квадрат — это прямое произведение I × I, где I — единичный отрезок ${\displaystyle [0;1]}$.

В комплексной плоскости под единичным квадратом подразумевается квадрат с вершинами 0, 1, 1 + i и i^[1].

Единичный квадрат является единицей измерения площади фигуры. Измерить площадь фигуры — значит найти отношение площади фигуры к площади единичного квадрата, то есть сказать, сколько раз единичный квадрат может быть уложен в данной фигуре^[2]. Есть все основания предполагать, что так определяли площадь математики Древнего Вавилона^[3]. В «Началах» Евклида не было единицы измерения длины, а значит, не было понятия единичный квадрат. Евклид не измерял площади числами, вместо этого он рассматривал отношения площадей друг к другу^[4].

Неизвестно (на 2011 год), существует ли точка на плоскости такая, что расстояние до любой вершины единичного квадрата является рациональным числом. Однако известно, что такой точки не существует на границе квадрата^[10][11].

---