Лемма Гейне — Бореля

---

Леммой Гейне — Бореля^[1] (а также леммой Бореля — Лебега^[2] или леммой о конечном покрытии) называется следующий факт, играющий фундаментальную роль в анализе:

Обобщение этого предложения на многомерный случай также называется леммой Гейне — Бореля (или леммой Бореля — Лебега)^[3].

Чтобы сформулировать лемму Гейне — Бореля в общем случае, введем понятие покрытия^[3]. Система множеств

где индекс ${\displaystyle \alpha }$ пробегает некоторое множество ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, называется покрытием множества ${\displaystyle X}$, если

Если некоторая часть покрытия ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$, скажем ${\displaystyle {\mathfrak {S}}'=\lbrace S_{\alpha }\mid \alpha \in {\mathfrak {A'}}\rbrace }$, где ${\displaystyle {\mathfrak {A'}}}$ — подмножество ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, сама образует покрытие множества ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle {\mathfrak {S}}'}$ называется подпокрытием покрытия ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ множества ${\displaystyle X}$.

Пусть ${\displaystyle X}$ — замкнутое ограниченное множество в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Тогда из всякой системы открытых множеств, покрывающих множество ${\displaystyle X}$, можно выделить конечную подсистему, также покрывающую множество ${\displaystyle X}$.

---