Лемма Фату

---

Ле́мма Фату́ — техническое утверждение, используемое при доказательстве различных теорем в функциональном анализе и теории вероятностей. Оно даёт одно из условий, при которых предел почти всюду сходящейся функциональной последовательности будет суммируемым.

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ обозначает борелевскую ${\displaystyle \sigma }$- алгебру на ${\displaystyle [0,+\infty )}$.

Лемма. Дано пространство с мерой ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ и множество ${\displaystyle X\in \Sigma ,}$ пусть ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ последовательность ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$- измеримых неотрицательных функций ${\displaystyle f_{n}:X\to [0,+\infty )}$.

Определим функцию ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty )}$ :

Тогда ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$- измеримой и :

---