Борелевская сигма-алгебра

---

Боре́левская си́гма-а́лгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются борелевскими.

Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое подмножество может не быть борелевским.

Рассмотрим функцию ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{2}}(x+c(x))}$ на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$, где ${\displaystyle c(x)}$ — канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие — измерима. Также измерима обратная к ней функция ${\displaystyle g}$. Мера образа канторова множества равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, так как мера образа его дополнения равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество ${\displaystyle A}$. Тогда его прообраз ${\displaystyle D=f^{-1}(A)}$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе ${\displaystyle A}$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества ${\displaystyle D}$ при измеримом отображении ${\displaystyle g}$).

---