Интеграл Лебега

---

Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах (интеграл Фреше).

Идея построения интеграла Лебега^[1] состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$, и на нём определена измеримая функция ${\displaystyle f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$, где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ — борелевская ${\displaystyle \sigma }$-алгебра на вещественной оси.

Определение 1. Пусть ${\displaystyle f}$ — индикатор некоторого измеримого множества, то есть ${\displaystyle f(x)=\mathbf {1} _{A}(x)}$, где ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$. Тогда интеграл Лебега функции ${\displaystyle f}$ по определению:

---