Интеграл Римана

---

Интегра́л Ри́мана — наиболее широко используемый вид определённого интеграла. Очень часто под термином «определённый интеграл» понимается именно интеграл Римана, и он изучается самым первым из всех определённых интегралов во всех курсах математического анализа.^[1] Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.^[2]

Интеграл Римана есть формализация понятия площади под графиком. Разобьём отрезок, над которым мы ищем площадь, на конечное число подотрезков. На каждом из подотрезков выберем некоторую точку графика и построим вертикальный прямоугольник с подотрезком в качестве основания до той самой точки графика. Рассмотрим фигуру, полученную из таких прямоугольников. Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ будет задаваться суммой:

Интуитивно понятно, что если мы будем уменьшать длины этих подотрезков, то площадь такой фигуры будет всё больше и больше приближаться к площади под графиком. Именно это замечание и приводит к определению интеграла Римана.^[3]

Пусть на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ определена вещественнозначная функция ${\displaystyle f}$. Будем считать ${\displaystyle a<b}$.

Для определения интеграла прежде всего необходимо сначала определить понятие разбиения отрезка и остальные связанные с ним определения.

Разбиением (неразмеченным) отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ назовём конечное множество точек отрезка ${\displaystyle [a,b]}$, в которое входят точки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Как видно из определения, в разбиение всегда входят хотя бы две точки. Точки разбиения можно расположить по возрастанию: ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b}$. Множество всех разбиений отрезка ${\displaystyle [a;b]}$ будем обозначать ${\displaystyle T[a;b]}$.

---