Определённый интеграл

---

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм)^[⇨]. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции^[⇨][1]. В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала)^[2].

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ определена на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$. Разобьём ${\displaystyle [a;b]}$ на части несколькими произвольными точками: ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b}$. Тогда говорят, что произведено разбиение ${\displaystyle R}$ отрезка ${\displaystyle [a;b].}$Далее, для каждого ${\displaystyle i}$ от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle n-1}$ выберем произвольную точку ${\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i};x_{i+1}]}$.

Определённым интегралом от функции ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю ${\displaystyle \lambda _{R}\rightarrow 0}$, если он существует независимо от разбиения ${\displaystyle R}$ и выбора точек ${\displaystyle \xi _{i}}$, то есть

Если существует указанный предел, то функция ${\displaystyle f(x)}$ называется интегрируемой на ${\displaystyle [a;b]}$ по Риману.

---