Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

---

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Пусть фиксировано пространство с мерой ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$. Предположим, что ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ и ${\displaystyle f}$ — измеримые функции на ${\displaystyle X}$, причём ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ почти всюду. Тогда если существует определённая на том же пространстве интегрируемая функция ${\displaystyle g}$, такая что ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad |f_{n}(x)|\leqslant g(x)}$ почти всюду, то функции ${\displaystyle f_{n},\;f}$ интегрируемы и

---