Полукольцо

---

Полукольцо — общеалгебраическая структура, похожая на кольцо, но без требования существования противоположного по сложению элемента.

Множество ${\displaystyle S}$, с заданными на нем бинарными операциями ${\displaystyle +}$ и ${\displaystyle \cdot }$, называется полукольцом, если для любых элементов ${\displaystyle a,b,c}$ выполняются следующие условия:^[1][2][3]

Для кольца последнее соотношение не требуется, поскольку оно следует из других, для полукольца оно необходимо. Отличие полукольца от кольца состоит только в том, что по сложению полукольцо образует не коммутативную группу, а только коммутативный моноид.

Полукольцо называется коммутативным, если операция умножения в нём коммутативна: ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a\;\forall a,b\in S}$.

Полукольцо называется полукольцом с единицей, если в нём существует нейтральный элемент по умножению (называемый единицей): ${\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a\;\forall a\in S}$.

Полукольцо называется мультипликативно (или аддитивно) сократимым, если ${\displaystyle \;\forall a,b,c\in S}$ из равенства ${\displaystyle a\cdot c=b\cdot c}$ (или, соответственно, ${\displaystyle a+c=b+c}$) следует, что ${\displaystyle a=b}$.

---