Моноид

---

Моноид — полугруппа с нейтральным элементом. Более подробно, моноидом называется множество ${\displaystyle M}$, на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент ${\displaystyle e}$, что ${\displaystyle ex=x=xe}$ для любого ${\displaystyle x\in M}$. Элемент ${\displaystyle e}$ называется единицей и часто обозначается ${\displaystyle 1}$. В любом моноиде имеется ровно одна единица.

Моноиды возникают в различных областях математики; например, моноиды можно рассматривать как категории из одного объекта. Таким образом, моноиды обобщают свойства композиции функций. Также моноиды используются в информатике и в теории формальных языков.

Всякий моноид можно представить как моноид всех эндоморфизмов некоторой универсальной алгебры.^{[источник не указан 3929 дней]}

Для любого элемента моноида можно определить нулевую степень как ${\displaystyle a^{0}=e,\forall a}$ Так как моноид является частным случаем полугруппы, то для его элементов определена натуральная степень. Свойства степени ${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}a^{n},(a^{m})^{n}=a^{mn}}$ остаются справедливыми для ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$.

---