Полугруппа

---

Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией ${\displaystyle (S,\cdot )}$. Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом; любую полугруппу ${\displaystyle S}$, не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент ${\displaystyle e\not \in S}$ и определив ${\displaystyle es=s=se\ \forall s\in S\cup \{e\};}$ полученный моноид обычно обозначается как ${\displaystyle S^{1}}$.

Примеры полугрупп: натуральные числа с операцией сложения, множество всех отображений множества в себя с операцией композиции, множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации. Любая группа является также и полугруппой; Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.

Полугруппой является (непустое) множество ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$, в котором для любой пары взятых в определённом порядке элементов ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {U}}}$ определён новый элемент, называемый их произведением ${\displaystyle U=XY\in {\mathfrak {U}}}$, причём для любых ${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathfrak {U}}}$ всегда выполнено ${\displaystyle (XY)Z=X(YZ)}$^[1].

---