Эндоморфизм

---

Эндоморфизм — морфизм объекта категории в себя, в контексте универсальной алгебры — гомоморфизм, отображающий алгебраическую систему в себя.

В любой категории композиция двух эндоморфизмов ${\displaystyle X}$ также является эндоморфизмом, композиция ассоциативна и существует тождественный эндоморфизм. Отсюда следует, что все эндоморфизмы для объекта ${\displaystyle X}$ образуют моноид, который обозначается ${\displaystyle \operatorname {End} (X)}$ (или ${\displaystyle \operatorname {End} _{C}(X)}$, чтобы подчеркнуть категорию ${\displaystyle C}$).

Обратимый эндоморфизм (обладающий свойствами изоморфизма) называется автоморфизмом. Множество автоморфизмов является подмножеством ${\displaystyle \operatorname {End} (X)}$ с естественной структурой группы, оно обозначается ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$.

Любые два эндоморфизма абелевой группы можно складывать по правилу ${\displaystyle (f+g)(a)=f(a)+g(a)}$. С определённым таким образом сложением эндоморфизмы любой абелевой группы образуют кольцо, называемое кольцом эндоморфизмов^[англ.]. Например, эндоморфизмы свободной абелевой группы ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ — это кольцо всех ${\displaystyle n\times n}$ матриц с целыми коэффициентами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта предаддитивной категории. Эндоморфизмы коммутативного моноида образуют полукольцо, а эндоморфизмы некоммутативной группы образуют структуру, известную как почтикольцо.

---