Предаддитивная категория

---

Предаддити́вная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ множество ${\displaystyle {\text{Hom}}(A,B)}$ имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:

Предаддитивную категорию иногда называют также ${\displaystyle Ab}$-категорией^[1].

Функтор ${\displaystyle T\colon A\to B}$ называется аддитивным, если каждое отображение ${\displaystyle T\colon {\text{Hom}}_{A}(a_{1},a_{2})\to {\text{Hom}}_{B}(Ta_{1},Ta_{2})}$ является гомоморфизмом абелевых групп.

Если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ — категории, причём ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ предаддитивна, то категория функторов ${\displaystyle Funct({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})}$ также предаддитивна, поскольку естественные преобразования можно естественным образом складывать. Если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ тоже предаддитивна, то категория ${\displaystyle Add({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})}$ аддитивных функторов и естественных преобразований также предаддитивна.

---