Сумма (математика)

---

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество) в математике — результат применения операции сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.), либо результат последовательного выполнения нескольких операций сложения (суммирования). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы объединяемых множеств, взятые без повторений.

Также сложение (нахождение суммы) может быть определено для более сложных алгебраических структур (сумма групп, сумма линейных пространств, сумма идеалов, и другие примеры). В теории категорий определяется понятие суммы объектов.

Пусть в множестве ${\displaystyle \mathbb {N} }$ находится ${\displaystyle a}$ элементов, образующих подмножество ${\displaystyle A}$, и ${\displaystyle b}$ элементов, образующих подмножество ${\displaystyle B}$ (${\displaystyle A\subset \mathbb {N} ,B\subset \mathbb {N} }$, a и b — натуральные числа). Тогда арифметической суммой ${\displaystyle a+b}$ будет количество элементов ${\displaystyle c}$, образующих подмножество ${\displaystyle C\subset \mathbb {N} }$, полученное при дизъюнктном объединении двух исходных подмножеств ${\displaystyle C=A\sqcup B.}$

где: i — индекс суммирования; a_i — переменная, обозначающая каждый член в серии; m — нижняя граница суммирования, n — верхняя граница суммирования. Обозначение «i = m» под символом суммирования означает, что начальное (стартовое) значение индекса i эквивалентно m. Из этой записи следует, что индекс i инкрементируется на 1 в каждом члене выражения и остановится, когда i = n.^[1]

---