Спектр оператора

---

Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике.

Пусть A — оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора (обычно обозначается ${\displaystyle \sigma (A)}$) называется множество его собственных значений.

Квадратную матрицу порядка ${\displaystyle n}$ можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В этом случае говорят о спектре матрицы.

Пусть A — оператор, действующий в банаховом пространстве E над ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор ${\displaystyle R(\lambda )=(A-\lambda I)^{-1}}$, называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен. Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора ${\displaystyle \sigma (A)}$. Спектр ограниченного оператора представляет собой компакт в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ или является пустым. Спектр линейного ограниченного оператора непуст.

Внутри спектра оператора можно выделять части, не одинаковые по своим свойствам. Одной из основных классификаций спектра является следующая:

Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через ${\displaystyle r(A)}$. При этом выполняется равенство${\displaystyle r(A)=\lim _{n\to \infty }\|A^{n}\|^{1/n}}$.

---