Обратный оператор

---

Обратный оператор к оператору ${\displaystyle A}$ — оператор, который каждому ${\displaystyle y}$ из множества значений ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$ оператора ${\displaystyle A}$ ставит в соответствие единственный элемент ${\displaystyle x}$ из области определения ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ оператора ${\displaystyle A}$, являющийся решением уравнения ${\displaystyle Ax=y}$. Если оператор ${\displaystyle A}$ имеет обратный, то есть уравнение ${\displaystyle Ax=y}$ имеет единственное решение при любом ${\displaystyle y}$ из ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$, то ${\displaystyle A}$ называется обратимым. Обратный оператор обозначается ${\displaystyle A^{-1}}$^[1].

Другое определение: оператор ${\displaystyle B}$ называется обратным к оператору ${\displaystyle A}$, если ${\displaystyle BA=I,\,AB=I}$, где ${\displaystyle I}$ — единичный оператор. Если выполняется только соотношение ${\displaystyle BA=I}$ или только ${\displaystyle AB=I,}$ то оператор ${\displaystyle B}$ называется левым обратным или правым обратным соответственно. Если оператор ${\displaystyle A}$ имеет левый обратный и правый обратный, то они равны между собой, а оператор ${\displaystyle A}$ является обратимым^[2]. Если обратный оператор существует, он определяется единственным образом^[3].

---