Обхват (теория графов)

---

Обхват графа — длина наименьшего цикла, содержащегося в данном графе^[1]. Если граф не содержит циклов (то есть является ациклическим графом), его обхват по определению равен бесконечности^[2]. Например, 4-цикл (квадрат) имеет обхват 4. Квадратная решётка имеет также обхват 4, а треугольная сетка имеет обхват 3. Граф с обхватом четыре и более не имеет треугольников.

Кубические графы (все вершины имеют степень три) с как можно меньшим обхватом ${\displaystyle g}$ известны как ${\displaystyle g}$-клетки (или как (3,${\displaystyle g}$)-клетки). Граф Петерсена — это единственная 5-клетка (наименьший кубический граф с обхватом 5), граф Хивуда — это единственная 6-клетка, граф Макги — это единственная 7-клетка, а граф Татта — Коксетера — это единственная 8-клетка^[3]. Может существовать несколько (графов-)клеток для данного обхвата. Например, существует три неизоморфных 10-клетки, каждая с 70 вершинами — 10-клетка Балабана, граф Харриса и граф Харриса — Вонга.

Для любого положительного целого ${\displaystyle k}$ существует граф ${\displaystyle G}$ с обхватом ${\displaystyle g(G)\geq k}$ и хроматическим числом ${\displaystyle \chi (G)\geq k}$. Например, граф Грёча является графом без треугольников и имеет хроматическое число 4, а многократное повторение конструкции Мыцельскиана, используемой для создания графа Грёча, образует графы без треугольников со сколь угодно большим хроматическим числом.Пал Эрдёш доказал эту теорему используя вероятностный метод^[4].

План доказательства. Назовём циклы длиной не более ${\displaystyle k}$ короткими, а множества с ${\displaystyle |G|/k}$ и более вершин — большими. Для доказательства теоремы достаточно найти граф ${\displaystyle G}$ без коротких циклов и больших независимых множеств вершин. Тогда множества цветов в раскраске не будут большими, и, как следствие, для раскраски потребуется ${\displaystyle k}$ цветов.

---