Основания геометрии


Основания геометрии — область математики, изучающая аксиоматические системы евклидовой геометрии, а также различных неевклидовых геометрий. Основные вопросы состоят в полноте, независимости и непротиворечивости аксиоматических систем. Основания геометрии также связаны с вопросом преподавания геометрии.

Основания геометрии стали изучаться после появления геометрии Лобачевского. Первой задачей стала формализация и пополнение системы аксиом евклидовой геометрии.

Аксиоматика Евклида не была полной, и в доказательствах Евклид пользовался неявно аксиомами, которые не представлены в его списке аксиом. Например, Евклид использовал без доказательства то, что две окружности с центрами на расстоянии их радиуса пересекаются в двух точках.

Родоначальником оснований геометрии следует считать Морица Паша. В своей книге «Vorlesungen über neuere Geometrie», опубликованной в 1882 году, Паш создал формальные системы, свободные от каких-либо интуитивных влияний. Он впервые использовал так называемое «неопределяемое понятие» (нем. Kernbegriffe) в дополнение к аксиомами (нем. Kernsätzen). Работы Паша повлияли на многих других математиков, в частности, Гильберта, Пеано и Пьери.

Аксиоматика Евклида — первая и не полная система. Она состояла из определений