Парадокс Кантора

---

Парадо́кс Ка́нтора — парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Предположим, что множество всех множеств ${\displaystyle V=\{x\mid x=x\}}$ существует. В этом случае справедливо ${\displaystyle \forall x\forall T(x\in T\rightarrow x\in V)}$, то есть всякое множество ${\displaystyle T}$ является подмножеством ${\displaystyle V}$. Но из этого следует ${\displaystyle \forall T\;|T|\leqslant |V|}$ — мощность любого множества не превосходит мощности ${\displaystyle V}$.

Но в силу аксиомы существования множества всех подмножеств для ${\displaystyle V}$, как и любого множества, существует множество всех подмножеств ${\displaystyle {\mathcal {P}}(V)}$, и по теореме Кантора ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(V)|=2^{|V|}>|V|}$, что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, ${\displaystyle V}$ не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что ${\displaystyle \exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow A)}$ для любой формулы ${\displaystyle A}$, не содержащей ${\displaystyle y}$ свободно.

---