Выворачивание сферы

---

Выворачивание сферы — процесс перемены местами внешней и внутренней поверхностей сферы в трёхмерном пространстве в рамках условий дифференциальной топологии. Допускается самопересечение поверхностей, но в каждый момент времени она не имеет разрывов и сохраняет гладкость. Другими словами, образ сферы в каждый момент деформации должен оставаться дифференцируемым.

Возможность выворачивания сферы была впервые открыта американским математиком Стивеном Смейлом. Представить конкретный пример такого преобразования достаточно сложно, поэтому этот результат называют парадоксом Смейла^[1]. Для наглядности объяснения было создано множество визуализаций.

Пусть ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ есть стандартное вложение сферы в трёхмерное пространство. Тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений ${\displaystyle f_{t}\colon \mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},\ \ t\in [0,1]}$, такое, что ${\displaystyle f_{0}=f}$ и ${\displaystyle f_{1}=-f}$.

---