Первый интеграл

---

— дифференцируемая функция ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, такая, что её производная по направлению векторного поля ${\displaystyle A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))}$

для всех ${\displaystyle x}$ из области ${\displaystyle U}$. Другими словами, функция ${\displaystyle f}$ постоянна на любом решении системы, содержащемся в области ${\displaystyle U}$.

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть ${\displaystyle U}$ — область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))}$ — дифференцируемое векторное поле в ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle x_{0}\in U}$, ${\displaystyle A(x_{0})\neq 0}$. Тогда существует такая окрестность точки ${\displaystyle x_{0}}$, что система дифференциальных уравнений

имеет в этой окрестности ровно ${\displaystyle n-1}$ функционально независимых первых интегралов.

---