Порядок числа по модулю

---

Показателем, или мультипликативным порядком, целого числа ${\displaystyle a}$ по модулю ${\displaystyle m}$ называется наименьшее положительное целое число ${\displaystyle \ell }$, такое, что^[1][2]

Показатель определен только для чисел ${\displaystyle a}$, взаимно простых с модулем ${\displaystyle m}$, то есть для элементов группы обратимых элементов кольца вычетов по модулю ${\displaystyle m}$. При этом, если показатель числа ${\displaystyle a}$ по модулю ${\displaystyle m}$ определен, то он является делителем значения функции Эйлера ${\displaystyle \varphi (m)}$ (следствие теоремы Лагранжа) и значения функции Кармайкла ${\displaystyle \lambda (m)}$.

Чтобы показать зависимость показателя ${\displaystyle \ell }$ от ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle m}$, его также обозначают ${\displaystyle P_{m}(a)}$, а если ${\displaystyle m}$ фиксировано, то просто ${\displaystyle P(a)}$.

Так как ${\displaystyle 2^{4}\equiv 1{\pmod {15}}}$, но ${\displaystyle 2^{1}\not \equiv 1{\pmod {15}}}$, ${\displaystyle 2^{2}\not \equiv 1{\pmod {15}}}$, ${\displaystyle 2^{3}\not \equiv 1{\pmod {15}}}$, то порядок числа 2 по модулю 15 равен 4.

---