Функция Кармайкла

---

Функция Кармайкла — теоретико-числовая функция, обозначаемая ${\displaystyle \lambda (n)}$, равная наименьшему показателю ${\displaystyle m}$ такому, что

для всех целых ${\displaystyle a}$, взаимно простых с модулем ${\displaystyle n}$. Говоря языком теории групп, ${\displaystyle \lambda (n)}$ — это экспонента мультипликативной группы вычетов по модулю ${\displaystyle n}$.

Приведем таблицу первых 36 значений функции ${\displaystyle \lambda (n)}$ последовательность A002322 в OEIS в сравнении со значениями функции Эйлера ${\displaystyle \varphi }$. (жирным выделены отличающиеся значения)

1,3,5,7 — все числа, меньшие 8 и взаимно простые с ним, ${\displaystyle 1^{2}\equiv 1{\pmod {8}};\ 3^{2}=9\equiv 1{\pmod {8}};\ 5^{2}=25\equiv 1{\pmod {8}};\ 7^{2}=49\equiv 1{\pmod {8}}}$, значит функция Кармайкла ${\displaystyle \lambda (8)}$ равна 2. Функция Эйлера ${\displaystyle \varphi (8)}$ равна 4, поскольку в списке 1,3,5,7 ровно 4 числа.

Функция Кармайкла ${\displaystyle \lambda (n)}$ от степеней нечётных простых, а также для чисел 2 и 4, равна функции Эйлера ${\displaystyle \varphi (n)}$; для степеней двойки, больших 4, она равна половине функции Эйлера:

По основной теореме арифметики любое ${\displaystyle n>1}$ может быть представлено как

---