Мультипликативная группа кольца вычетов

---

Мультипликативная группа кольца вычетов по модулю m — мультипликативная группа обратимых элементов кольца вычетов по модулю m. При этом в качестве множества элементов может рассматриваться любая приведенная система вычетов по модулю m.

Приведённая система вычетов по модулю m — множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. В качестве приведённой системы вычетов по модулю m обычно берутся взаимно простые с m числа от 1 до m — 1^[1].

Пример: приведенной системой вычетов по модулю 42 будет: { 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41 }.

Приведённая система вычетов с умножением по модулю m образует группу, называемую мультипликативной группой или мультипликативной группой обратимых элементов кольца вычетов по модулю m, которая обозначается ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}^{\times }}$ или ${\displaystyle U(\mathbb {Z} _{m})}$^[4].

Если m простое, то, как отмечалось выше, элементы 1, 2, …,m-1 входят в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}^{\times }}$. В этом случае ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}^{\times }}$ является полем^[4].

---